信号处理——Hilbert变换及谱分析-白红宇

信号处理——Hilbert变换及谱分析

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发布时间：2019-06-28

本文共 9982 字，大约阅读时间需要 33 分钟。

作者：桂。

时间：2017-03-03 23:57:29

链接：

前言

Hilbert通常用来得到解析信号，基于此原理，Hilbert可以用来对窄带信号进行解包络，并求解信号的瞬时频率，但求解包括的时候会出现端点效应，本文对于这几点分别做了简单的理论探讨。

本文内容多有借鉴他人，最后一并附上链接。

一、基本理论

　　A-Hilbert变换定义

对于一个实信号$x(t)$，其希尔伯特变换为：

$\tilde x(t) = x(t) * \frac{1}{\pi t}$

式中*表示卷积运算。

Hilbert本质上也是转向器，对应频域变换为：

$\frac{1}{

{\pi t}} \Leftrightarrow j\cdot \;sign(\omega )$

即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号，又有：

$\frac{1}{

{\pi t}}*\frac{1}{

{\pi t}} \Leftrightarrow j \cdot \;sign(\omega ) \cdot j \cdot \;sign(\omega ) = - 1$

即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。

对应解析信号为：

$z(t) = x(t) + j\tilde x(t)$

此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。

　　B-Hilbert解调原理

设有窄带信号：

$x(t) = a(t)\cos [2\pi {f_s}t + \varphi (t)]$

其中$f_s$是载波频率，$a(t)$是$x(t)$的包络，$\varphi (t)$是$x(t)$的相位调制信号。由于$x(t)$是窄带信号，因此$a(t)$也是窄带信号，可设为：

$a(t) = \left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M {

{X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

式中，$f_m$为调幅信号$a(t)$的频率分量，${\gamma _m}$为$f_m$的各初相角。

对$x(t)$进行Hilbert变换，并求解解析信号，得到：

$z(t) = {e^{j\left[ {2\pi {f_s} + \varphi \left( t \right)} \right]}}\left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M {

{X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

设

$A(t) = \left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M {

{X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

$\Phi \left( t \right) = 2\pi {f_s}t + \varphi \left( t \right)$

则解析信号可以重新表达为：

$z(t) = A(t){e^{j\Phi \left( t \right)}}$

对比$x(t)$表达式，容易发现：

$a(t) = A(t) = \sqrt {

{x^2}(t) + {

{\tilde x}^2}(t)} $

$\varphi (t) = \Phi (t) - 2\pi {f_s}t = \arctan \frac{

{x(t)}}{

{\tilde x(t)}} - 2\pi {f_s}t$

由此可以得出：对于窄带信号$x(t)$，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调$a(t)$和相位解调$\varphi (t)$，并可以利用相位解调求解频率解调$f(t)$。因为：

$f\left( t \right) = \frac{1}{

{2\pi }}\frac{

{d\varphi (t)}}{

{dt}} = \frac{1}{

{2\pi }}\frac{

{d\Phi (t)}}{

{dt}} - {f_s}$

　　C-相关MATLAB指令

hilbert

功能：将实数信号x(n)进行Hilbert变换，并得到解析信号z(n).

调用格式：z = hilbert(x)

instfreq

功能：计算复信号的瞬时频率。

调用格式：[f, t] = insfreq(x,t)

示例：
z = hilbert(x);f = instfreq(z);

二、应用实例

例1：给定一正弦信号，画出其Hilbert信号，直接给代码：

clcclear allclose allts = 0.001;fs = 1/ts;N = 200;f = 50;k = 0:N-1;t = k*ts;% 信号变换% 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号y = sin(2*pi*f*t);yh = hilbert(y);    % matlab函数得到信号是合成的复信号yi = imag(yh);      % 虚部为书上定义的Hilbert变换figuresubplot(211)plot(t, y)title('原始sin信号')subplot(212)plot(t, yi)title('Hilbert变换信号')ylim([-1,1])

　　对应效果图：

例2：已知信号$x(t) = (1 + 0.5\cos (2\pi 5t))\cos (2\pi 50t + 0.5\sin (2\pi 10t))$，求解该信号的包络和瞬时频率。

分析：根据解包络原理知：

信号包络：$(1 + 0.5\cos (2\pi 5t))$

瞬时频率：$\frac{2\pi 50t + 0.5\sin (2\pi 10t)}{2\pi}$

那么问题来了，实际情况是：我们只知道$x(t)$的结果，而不知道其具体表达形式，这个时候，上文的推导就起了作用：可以借助信号的Hilbert变换，从而求解信号的包络和瞬时频率。

对应代码：

clear all; clc; close all;fs=400;                                 % 采样频率N=400;                                  % 数据长度n=0:1:N-1;dt=1/fs;t=n*dt;                                 % 时间序列A=0.5;                                  % 相位调制幅值x=(1+0.5*cos(2*pi*5*t)).*cos(2*pi*50*t+A*sin(2*pi*10*t));  % 信号序列z=hilbert(x');                          % 希尔伯特变换a=abs(z);                               % 包络线fnor=instfreq(z);                       % 瞬时频率fnor=[fnor(1); fnor; fnor(end)];        % 瞬时频率补齐% 作图pos = get(gcf,'Position');set(gcf,'Position',[pos(1), pos(2)-100,pos(3),pos(4)]);subplot 211; plot(t,x,'k'); hold on;plot(t,a,'r--','linewidth',2); title('包络线'); ylabel('幅值'); xlabel(['时间/s' 10 '(a)']);ylim([-2,2]);subplot 212; plot(t,fnor*fs,'k'); ylim([43 57]);title('瞬时频率'); ylabel('频率/Hz');  xlabel(['时间/s' 10 '(b)']);

　　其中instfreq为时频工具包的代码，可能有的朋友没有该代码，这里给出其程序：

function [fnormhat,t]=instfreq(x,t,L,trace);%INSTFREQ Instantaneous frequency estimation.%	[FNORMHAT,T]=INSTFREQ(X,T,L,TRACE) computes the instantaneous %	frequency of the analytic signal X at time instant(s) T, using the%	trapezoidal integration rule.%	The result FNORMHAT lies between 0.0 and 0.5.% %	X : Analytic signal to be analyzed.%	T : Time instants	        (default : 2:length(X)-1).%	L : If L=1, computes the (normalized) instantaneous frequency %	    of the signal X defined as angle(X(T+1)*conj(X(T-1)) ;%	    if L>1, computes a Maximum Likelihood estimation of the%	    instantaneous frequency of the deterministic part of the signal%	    blurried in a white gaussian noise.%	    L must be an integer       	(default : 1).%	TRACE : if nonzero, the progression of the algorithm is shown%	                                (default : 0).%	FNORMHAT : Output (normalized) instantaneous frequency.%	T : Time instants.%%	Examples : %	 x=fmsin(70,0.05,0.35,25); [instf,t]=instfreq(x); plot(t,instf)%	 N=64; SNR=10.0; L=4; t=L+1:N-L; x=fmsin(N,0.05,0.35,40);%	 sig=sigmerge(x,hilbert(randn(N,1)),SNR);%	 plotifl(t,[instfreq(sig,t,L),instfreq(x,t)]); grid;%	 title ('theoretical and estimated instantaneous frequencies');%%	See also  KAYTTH, SGRPDLAY.%	F. Auger, March 1994, July 1995.%	Copyright (c) 1996 by CNRS (France).%%	------------------- CONFIDENTIAL PROGRAM -------------------- %	This program can not be used without the authorization of its%	author(s). For any comment or bug report, please send e-mail to %	f.auger@ieee.org if (nargin == 0), error('At least one parameter required');end;[xrow,xcol] = size(x);if (xcol~=1), error('X must have only one column');endif (nargin == 1), t=2:xrow-1; L=1; trace=0.0;elseif (nargin == 2), L = 1; trace=0.0;elseif (nargin == 3), trace=0.0;end;if L<1, error('L must be >=1');end[trow,tcol] = size(t);if (trow~=1), error('T must have only one row'); end;if (L==1), if any(t==1)|any(t==xrow),  error('T can not be equal to 1 neither to the last element of X'); else  fnormhat=0.5*(angle(-x(t+1).*conj(x(t-1)))+pi)/(2*pi); end;else H=kaytth(L);  if any(t<=L)|any(t+L>xrow),  error('The relation L
     
      <=length(X)-L must be satisfied'); else  for icol=1:tcol,   if trace, disprog(icol,tcol,10); end;   ti = t(icol); tau = 0:L;   R = x(ti+tau).*conj(x(ti-tau));   M4 = R(2:L+1).*conj(R(1:L));      diff=2e-6;   tetapred = H * (unwrap(angle(-M4))+pi);   while tetapred<0.0 , tetapred=tetapred+(2*pi); end;   while tetapred>2*pi, tetapred=tetapred-(2*pi); end;   iter = 1;   while (diff > 1e-6)&(iter<50),    M4bis=M4 .* exp(-j*2.0*tetapred);    teta = H * (unwrap(angle(M4bis))+2.0*tetapred);    while teta<0.0 , teta=(2*pi)+teta; end;    while teta>2*pi, teta=teta-(2*pi); end;    diff=abs(teta-tetapred);    tetapred=teta; iter=iter+1;   end;   fnormhat(icol,1)=teta/(2*pi);  end; end;end;

　　对应的结果图为：

可以看到信号的包络、瞬时频率，均已完成求解。

例3：例2中信号包络为规则的正弦函数，此处给定任意形式的包络（以指数形式为例），并利用Hilbert求解包络以及瞬时频率，并给出对应的Hilbert谱。

程序：

clcclear allclose allts = 0.001;fs = 1/ts;N = 200;k = 0:N-1;t = k*ts;% 原始信号f1 = 10;f2 = 70;% a = cos(2*pi*f1*t);       % 包络1a = 2 + exp(0.2*f1*t);     % 包络2% a = 1./(1+t.^2*50);       % 包络3m = sin(2*pi*f2*t);         % 调制信号y = a.*m;  % 信号调制figuresubplot(241)plot(t, a)title('包络')subplot(242)plot(t, m)title('调制信号')subplot(243)plot(t, y)title('调制结果')% 包络分析% 结论：Hilbert变换可以有效提取包络、高频调制信号的频率等yh = hilbert(y);aabs = abs(yh);                 % 包络的绝对值aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位af = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算% NFFT = 2^nextpow2(N);NFFT = 2^nextpow2(1024*4);      % 改善栅栏效应f = fs*linspace(0,1,NFFT);YH = fft(yh, NFFT)/N;           % Hilbert变换复信号的频谱A = fft(aabs, NFFT)/N;          % 包络的频谱subplot(245)plot(t, aabs,'r', t, a)title('包络的绝对值')legend('包络分析结果', '真实包络')subplot(246)plot(t, aangle)title('调制信号的相位')subplot(247)plot(t(1:end-1), af*fs)title('调制信号的瞬时频率')subplot(244)plot(f,abs(YH))title('原始信号的Hilbert谱')xlabel('频率f (Hz)')ylabel('|YH(f)|')subplot(248)plot(f,abs(A))title('包络的频谱')xlabel('频率f (Hz)')ylabel('|A(f)|')

　　对应结果图：

从结果可以观察，出了边界误差较大，结果值符合预期。对于边界效应的分析，见扩展阅读部分。注意：此处瞬时频率求解，没有用instfreq函数，扩展阅读部分对该函数作进一步讨论。

三、扩展阅读

　　A-瞬时频率求解方法对比

对于离散数据，通常都是用差分代替微分，因此瞬时频率也可根据概念直接求解。此处对比分析两种求解瞬时频率的方法，给出代码：

clcclear allclose allts = 0.001;fs = 1/ts;N = 200;k = 0:N-1;t = k*ts;% 原始信号f1 = 10;f2 = 70;% a = cos(2*pi*f1*t);       % 包络1a = 2 + exp(0.2*f1*t);     % 包络2% a = 1./(1+t.^2*50);       % 包络3m = sin(2*pi*f2*t);         % 调制信号y = a.*m;  % 信号调制figureyh = hilbert(y);aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位af1 = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算af1 = [af1(1),af1];subplot 211plot(t, af1*fs);hold on;plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2);title('直接求解调制信号的瞬时频率');legend('频率估值','真实值','location','best');subplot 212af2 = instfreq(yh.').';af2 = [af2(1),af2,af2(end)];plot(t, af2*fs);hold on;plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2);title('instfreq求解调制信号的瞬时频率');legend('频率估值','真实值','location','best');

　　结果图：

可以看出，两种方式结果近似，但instfreq的结果更为平滑一些。

　　B-端点效应分析

对于任意包络，求解信号的包络以及瞬时频率，容易出现端点误差较大的情况，该现象主要基于信号中的Gibbs现象，限于篇幅，拟为此单独写一篇文章，具体请参考：。

　　C-VMD、EMD

Hilbert经典应用总绕不开HHT（Hilbert Huang），HHT基于EMD，近年来又出现了VMD分解，拟为此同样写一篇文章，略说一二心得，具体参考：。

　　D-解包络方法

需要认识到，Hilbert不是解包络的唯一途径，低通滤波（LPF）等方式一样可以达到该效果，只不过截止频率需要调参。

给出一个Hilbert、低通滤波解包络的代码：

function y=envelope(signal,Fs)%Example:%   load('s4.mat');%   signal=s4;%   Fs=12000;%   envelope(signal,Fs);clc;close all;%Normal FFTy=signal;figure();N=2*2048;T=N/Fs;sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));sig_n=sig_f/(norm(sig_f));freq_s=(0:N-1)/T;subplot 311plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('FFT of Original Signal');%Envelope Detection based on Low pass filter and then FFT[a,b]=butter(2,0.1);%butterworth Filter of 2 poles and Wn=0.1%sig_abs=abs(signal); % Can be used instead of squaring, then filtering and%then taking square rootsig_sq=2*signal.*signal;% squaring for rectifing %gain of 2 for maintianing the same energy in the outputy_sq = filter(a,b,sig_sq); %applying LPFy=sqrt(y_sq);%taking Square root%advantages of taking square and then Square root rather than abs, brings%out some hidden information more efficientlyN=2*2048;T=N/Fs;sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));sig_n=sig_f/(norm(sig_f));freq_s=(0:N-1)/T;subplot 312plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('Envelope Detection: LPF Method');%Envelope Detection based on Hilbert Transform and then FFTanaly=hilbert(signal);y=abs(analy);N=2*2048;T=N/Fs;sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));sig_n=sig_f/(norm(sig_f));freq_s=(0:N-1)/T;subplot 313plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('Envelope Detection : Hilbert Transform')

　　结果图：